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如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BED=60°,PD=√3,求PA的长.(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BED=60°,PD=
√
3
,求PA的长.
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.
试题解答
见解析
(1)解:直线PD为⊙O的切线(1分)
证明:如图1,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°(2分)
∴∠ADO+∠BDO=90°,
又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA(3分)
∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD(4分)
∵点D在⊙O上,∴直线PD为⊙O的切线.(5分)
(2)解:∵BE是⊙O的切线,∴∠EBA=90°
∵∠BED=60°,∴∠P=30°(6分)
∵PD为⊙O的切线,∴∠PDO=90°
在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=
√
3
∴tan30°=
OD
PD
,解得OD=1(7分)
∴PO=
√
PD
2
+OD
2
=2(8分)
∴PA=PO-AO=2-1=1(9分)
(3)(方法一)证明:如图2,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF(10分)
∵AB是圆O的直径∴∠ADB=90°
设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°
∵四边形AFBD内接于⊙O,∴∠DAF+∠DBF=180°
即90°+x+2x=180°,解得x=30°
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°(11分)
∵BE、ED是⊙O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°
∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形.
∴BD=DE=BE(12分)
又∵∠FDB=∠ADB-∠ADF=90°-30°=60°∠DBF=2x°=60°
∴△BDF是等边三角形.∴BD=DF=BF(13分)
∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形(14分)
(方法二)证明:如图3,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠APD=∠AFD,
∵∠PDA=∠PBD,∠ADF=∠ABF,∠PAD=∠DAF,
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF(10分)
∴AD=AF,BF∥PD(11分)
∴DF⊥PB∵BE为切线∴BE⊥PB
∴DF∥BE(12分)
∴四边形DFBE为平行四边形(13分)
∵PE、BE为切线∴BE=DE
∴四边形DFBE为菱形(14分)
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