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已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2（1）求圆锥的体积；（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．

试题解答

见解析

（1）设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又

，即

，（5分）
从而圆锥的体积

（7分）
（2）作圆锥的侧面展开图，线段MN即为所求最短距离．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA?OM⊥OA，

故M是弧AB的中点，即M是扇形弧的

点．（10分）
因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，
由（1）知

，所以母线SA=3，
从而扇形的中心角为

，所以

（12分）
在三角形MSA中

，由余弦定理得

（14分）

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