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  • 如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=√6，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（I）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论；（II）求二面角P-AC-E的平面角的大小．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=
      √6
      ，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
      （I）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论；
      （II）求二面角P-AC-E的平面角的大小．

      试题解答

      见解析
      解???（I）当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，
      取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①
      由EM=
      1
      2
      PE=ED，知E是MD的中点．
      连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．
      所以BM∥OE．②
      由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
      又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC．
      （II）作EG∥PA交AD于G，
      由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．
      作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为EAC与DAC为面的二面角的平面角．
      又PE：ED=2：1，所以EG=
      2
      3
      ，AG=
      4
      3
      ，
      GH=AGsin60°=
      2
      √3
      3
      ．
      从而tanθ=
      EG
      GH
      =
      √3
      3
      ，∴θ=30°．
      ∵PA=AC=2，PB=PD=
      √6
      ，
      ∴PA???AB，PA⊥AD
      ∵AB∩AD=A
      ∴PA⊥平面ABCD
      ∴平面PAC⊥平面ABCD
      ∴二面角P-AC-E的平面角的大小为EAC与DAC为面的二面角的平面角的余角
      ∴二面角P-AC-E的平面角的大小为60°
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