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  • 椭圆C的方程为x29+y25=1，F1、F2分别为C的左、右焦点，P是C上的任意一点，给出下列结论：①|PF1|-|PF2|有最大值5，②|PF1|?|PF2|有最大值9，③|PF1|2+|PF2|2有最大值18，④|PF1|2+|PF2|2有最大值26，其中正确结论的序号是 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      椭圆C的方程为
      x2
      9
      +
      y2
      5
      =1，F1、F2分别为C的左、右焦点，P是C上的任意一点，给出下列结论：
      ①|PF      1|-|PF2|有最大值5，②|PF1|?|PF2|有最大值9，③|PF1|2+|PF2|2有最大值18，④|PF1|2+|PF2|2有最大值26，其中正确结论的序号是          ．

      试题解答

      ②④
      解：①当P点不在x轴上时，P，F1，F2，三点构成三角形，此时|PF1|-|PF2|＜|F1F2|，∵|F1F2|=4，∴|PF1|-|PF2|＜4，
      当P点在x轴上时，|PF      1|-|PF2|=|F1F2|=4，∴|PF1|-|PF2|≤4，即①|PF1|-|PF2|有最大值4，①错误．
      ②∵P点在椭圆
      x2
      9
      +
      y2
      5
      =1上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=6，
      ∵|PF      1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|?|PF2|≤
      (|PF1|+|PF2|)2
      4
      =9，∴|PF1|?|PF2|有最大值9，②正确．
      ③根据椭圆方程，可得椭圆的离心率为
      2
      3

      设P点横坐标为x      0，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
      ∴|PF      1|2+|PF2|2=（a+ex0）2+（a+ex0）2=2a2+2e2x02=18+
      8
      9
      x02
      ∵P点在椭圆
      x2
      9
      +
      y2
      5
      =1上，∴x02≤9，∴18+
      8
      9
      x02≤26，∴PF1|2+|PF2|2有最大值26，
      ∴③错误，④正确．
      故答案为②④
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      选修1-1人教A版填空题高中数学

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