设圆M：x2+y2=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的12，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交曲线C于A、B两个不同点．（1）求曲线C的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

设圆M：x²+y²=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的

，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交曲线C于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

见解析

解：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲线C的方程为

x²

y²

=1．
它表示一个焦点在x轴上的椭圆．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又K_OM=

，
∴直线l的方程为y=

x+m．
由

{

x+m

x²

y²

=1.

∴x²+2mx+2m²-4=0，
∵直线l与椭圆???于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k₁=

y₁-1

x₁-2

，k₂=

y₂-1

x₂-2

，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.k₁+k₂=

y₁-1

x₁-2

，+

y₂-1

x₂-2

(y₁-1)(x₂-2)+(y₂-1)(x₁-2)

(x₁-2)(x₂-2)

(

x₁+m-1)(x₂-2)+(

x₂+m-1)(x₁-2)

(x₁-2)(x₂-2)

x₁x₂+(m-2)(x₁+x₂)-4(m-1)

(x₁-2)(x₂-2)

2m²-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x₁-2)(x₂-2)

2m²-4-2m²+4m-4m+4

(x₁-2)(x₂-2)

=0．
k₁+k₂=0．故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

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