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  • 已知函数f(x)=12ax2+(1-a)x+ln1x．其中a＞-1．（Ⅰ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当-1＜a≤2时，讨论函数f（x）的零点个数．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      2
      ax2+(1-a)x+ln
      1
      x
      ．其中a＞-1．
      （Ⅰ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
      （Ⅱ）当-1＜a≤2时，讨论函数f（x）的零点个数．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由f(x)=
      1
      2
      ax2+(1-a)x+ln
      1
      x
      ，得
      f′(x)=ax+(1-a)-
      1
      x
      =
      ax2+(1-a)x-1
      x
      =
      (x-1)(ax+1)
      x
      ，x＞0．
      f（x）有两个极值点等价于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
      等价于
      {
      a＞-1
      a≠0
      -
      1
      a
      ＞0
      -
      1
      a
      ≠1
      ，解得-1＜a＜0．
      ∴实数a的取值范围是（-1，0）；
      （Ⅱ）（1）当-1＜a＜0时，-
      1
      a
      ＞1，f′(x)=
      a(x-1)(x+
      1
      a
      )
      x
      ，x＞0，
      由
      {
      x＞0
      f′(x)＜0
      得，
      {
      x＞0
      (x-1)(x+
      1
      a
      )＞0
      ，解得0＜x＜1或x＞-
      1
      a
      ，
      由
      {
      x＞0
      f′(x)＞0
      得，
      {
      x＞0
      (x-1)(x+
      1
      a
      )＜0
      ，解得1＜x＜-
      1
      a
      ，
      从而f（x）在（0，1）、(-
      1
      a
      ，+∞)上递减，在(1，-
      1
      a
      )上递增．
      f(x)      极小值=f(1)=1-
      1
      2
      a＞1＞0．
      而f(-
      4
      a
      )=4+
      4
      a
      -ln(-
      4
      a
      )=
      4(a+1)
      a
      -ln(-
      4
      a
      )，
      ∵-1＜a＜0，∴
      a+1
      a
      ＜0，又-
      4
      a
      ＞4，∴ln(-
      4
      a
      )＞0，从而f(-
      4
      a
      )＜0．
      又f（x）的图象连续不断，故当-1＜a＜0时，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
      （2）当a≥0时，∵x＞0，∴ax+1＞0，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0；
      当x＞1时，f′（x）＞0．
      从而f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，f(x)      min=f(1)=1-
      1
      2
      a．
      ①若0≤a＜2，则f（x）      min＞0，此时f（x）的图象与x轴无交点．
      ②若a=2，则f（x）      min=0，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
      综上可知，当-1＜a＜0或a=2时，函数f（x）有且仅有一个零点；
      当0≤a＜2时，函数f（x）无零点．
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