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  • 如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．（1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标 ；（2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．

      （1）在平移过程中，得到△A      1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标 ；
      （2）继续向右平移，得到△A      2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；
      （3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A      2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      （1）（，3）。
      （2）P（3      ，1）。
      （3）存在四个点，与（2）中的A      2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。（1）∵等边三角形ABC的高为3，∴A1点的纵坐标为3。
      ∵顶点A      1恰落在直线l上，∴，解得；x=。
      ∴A      1点的坐标是（，3）。
      （2）设P（x，y），连接A      2P并延长交x轴于点H，连接B2P，先求出A2B2=2，HB2=，根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出PH=1，将y=1代入，即可得出点P的坐标。
      设P（x，y），连接A      2P并延长交x轴于点H，连接B2P，
      在等边三角△A      2B2C2中，高A2H=3，
      ∴A      2B2=2，HB2=。
      ∵点P是等边三角形A      2B2C2的外心，
      ∴∠PB      2H=30°。
      ∴PH=1，即y=1。
      将y=1代入      ，解得：x=3。
      ∴P（3      ，1）。
      （3）分四种情况分别讨论。
      ∵点P是等边三角形A      2B2C2的外心，
      ∴△PA      2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，
      ∴点P满足的条件，由（2）得P（3      ，1）。

      由（2）得，C      2（4，0），点C2满足直线的关系式，∴点C2与点M重合。
      ∴∠PMB      2=30°。
      设点Q满足的条件，△QA      2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，
      此时QA      2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2。
      作QD⊥x轴与点D，连接QB      2，
      ∵QB      2=2，∠QB2D=2∠PMB2=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。
      设点S满足的条件，△SA      2B2，△C2B2S，△C2PA2是等腰三角形，
      此时SA      2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S。
      作SF⊥x轴于点F，
      ∵SC      2=2，∠SB2C2=∠PMB2=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。
      设点R满足的条件，△RA      2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，
      此时RA      2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R。
      作RE⊥x轴于点E，
      ∵RC      2=2，∠RC2E=∠PMB2=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。
      综上所述，存在四个点，与（2）中的A      2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。
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