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  • 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

      （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
      （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
      （3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵AD=CD
      ∴∠DAC=∠DCA
      ∴∠BDC=2∠DAC
      ∵DE是∠BDC的平分线
      ∴∠BDC=2∠BDE
      ∴∠DAC=∠BDE
      ∴DE∥AC；
      （2）解：（I）当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE
      ∴BD=DC
      ∵DE平分∠BDC
      ∴DE⊥BC，BE=EC
      又∠ACB=90°
      ∴DE∥AC
      ∴
      BE
      BC
      =
      BD
      AB
      即BD=
      1
      2
      AB=
      1
      2
      √AC2+BC2
      =5
      ∴AD=5
      （II）当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN
      ∴EN∥BD
      ∵EN⊥CD
      ∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
      由三角形面积公式得AB?CD=AC?BC
      ∴CD=
      24
      5

      ∴AD=
      √AC2-CD2
      =
      18
      5

      综上，当AD=5或
      18
      5
      时，△BME与△CNE相似；
      （3）解：由角平分线性质易得S      △MDE=S△DEN=
      1
      2
      DM?ME
      ∵S      四边形MEND=S△BDE
      ∴
      1
      2
      BD?EM=DM?EM即DM=
      1
      2
      BD
      ∴EM是BD的垂直平分线
      ∴BE=DE，DM=BM，
      ∴BD=2BM，
      ∴∠EDB=∠DBE
      ∵∠EDB=∠CDE
      ∴∠DBE=∠CDE
      ∵∠DCE=∠BCD
      ∴△CDE∽△CBD
      ∴
      CD
      BC
      =
      CE
      CD
      ①，
      ∴
      CD
      BC
      =
      BE
      BD
      =
      BE
      2BM

      ∵BC=8，
      即CD=
      4BE
      BM

      ∴cosB=
      BM
      BE
      =
      4
      5

      ∴CD=4×
      5
      4
      =5
      由①式得CE=
      CD2
      BC
      =
      25
      8

      ∴BE=
      39
      8

      ∴BM=BE?cosB=
      4
      5
      ×
      39
      8
      =
      39
      10

      ∴AD=AB-2BM=10-2×
      39
      10
      =
      11
      5
      ．
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      七年级下册苏科版解答题初一数学

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