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  • 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1，面对角线B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22，则下列四个结论中①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A-BEF的体积为定值 ④异面直线AE，BF所成的角为定值，其中正确的个数是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1，面对角线B1D1上有两个动点E，F，且EF=
      √2
      2
      ，则下列四个结论中①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A-BEF的体积为定值 ④异面直线AE，BF所成的角为定值，其中正确的个数是（　　）

      试题解答

      C
      解：对于①，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，
      所以BB      1⊥AC，结合AC⊥BD，得到AC⊥平面BB1D1D
      由于BE?平面平面BB      1D1D，从而得到AC⊥BE，故①正确；
      对于②，因为正方体ABCD-A      1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
      且EF?平面A      1B1C1D1，结合面面平行的性质可得EF∥平面ABCD，
      由此可得②正确；
      对于③，正方体ABCD-A      1B1C1D1的对角面BB1D1D中，
      △BEF的面积S=
      1
      4
      SBB1D1D=
      √2
      4

      又∵点A到平面BEF的距离为
      1
      2
      AC=
      √2
      2

      ∴三棱锥A-BEF的体积为V=
      1
      3
      ×
      ???2
      4
      ×
      √2
      2
      =
      1
      12
      （定理）
      由此可得③正确；
      对于④，平面BB      1D1D中作EH∥BF交B1B于H，连结AH，
      则∠AEH（或其补角）???于异面直线AE、BF所成的角
      随着EF在B      1D1上运动，△AEH的形状在不断地改变，从而得到∠AEH的大小不等于定值
      因此异面直线AE、BF所成的角不为定值，故④不正确．
      综上所述，正确的命题是①②③，共3个
      故选：C
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      必修2人教A版单选题高中数学

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