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  • 如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AE=13AB，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）已知点P是四边形ABCD边上的一个动点．①若点P从B点出发，沿BC→CD→DA运动至A点停止．当△BEP为等腰三角形时，符合要求的点P有 ?个．②若点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动至A点停止．设运动时间为t?s，试求：当t等于多少时，△BEP为等腰三角形？试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AE=
      1
      3
      AB，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
      （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
      （2）已知点P是四边形ABCD边上的一个动点．
      ①若点P从B点出发，沿BC→CD→DA运动至A点停止．当△BEP为等腰三角形时，符合要求的点P有               ?个．
      ②若点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动至A点停止．设运动时间为t?s，试求：当t等于多少时，△BEP为等腰三角形？

      试题解答

      4
      （1）证明：在△ABC与△CDA中，
      {
      ∠B=∠D
      ∠BAC=∠ACD=90°
      AC=CA(公共边)
      ，
      ∴△ABC≌△CDA（AAS），
      ∴AB=CD．
      又∵∠BAC=∠ACD=90°，
      ∴AB∥DC，
      ∴四边形ABCD是平行四???形；

      解：（2）①当P在BC上时，有三个符合条件的点P使△BEP是等腰三角形；
      当P在CD上不能得出等腰三角形；
      当P在AD上时，有一个符合条件的点P使△BEP是等腰三角形；
      综上所述，符合条件的点P有4个；
      故答案是：4；

      ②解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
      由勾股定理得：AC=4cm，
      即AB、CD间的最短距离是4cm，
      ∵AB=3cm，AE=
      1
      3
      AB，
      ∴AE=1cm，BE=2cm，
      设经过ts时，△BEP是等腰三角形，
      当P在BC上时，
      ①BP=EB=2cm，
      t=2时，△BEP是等腰三角形；
      ②BP=PE，
      作PM⊥AB于M，
      ∴BM=ME=
      1
      2
      BE=1cm
      ∵cos∠ABC=
      AB
      BC
      =
      BM
      BP
      =
      3
      5
      ，
      ∴BP=
      5
      3
      cm，
      t=
      5
      3
      时，△BEP是等腰三角形；
      ③BE=PE=2cm，
      作EN⊥BC于N，则BP=2BN，
      ∴cosB=
      BN
      BE
      =
      3
      5
      ，
      ∴
      BN
      2
      =
      3
      5
      ，
      BN=
      6
      5
      cm，
      ∴BP=
      12
      5
      ，
      ∴t=
      12
      5
      时，△BEP是等腰三角形；
      当P在CD上不能得出等腰三角形，
      ∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
      当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，
      过P作PQ⊥BA于Q，
      ∵平行四边形ABCD，
      ∴AD∥BC，
      ∴∠QAD=∠ABC，
      ∵∠BAC=∠Q=90°，
      ∴△QAP∽△ABC，
      ∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
      设PQ=4xcm，AQ=3xcm，
      在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）      2+（4x）2=22，
      ∴x=
      2
      √21
      -3
      25
      ，
      AP=5x=
      2
      √21
      -3
      5
      cm，
      ∴t=5+5+3-
      2
      √21
      -3
      5
      =
      68-2
      √21
      5
      ，
      答：从运动开始经过2s或
      5
      3
      s或
      12
      5
      s或
      68-2
      √21
      5
      s时，△BEP为等腰三角形．
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