已知 A（-4，0）B （0，4）以A点为位似中心将OB向右侧放大，得到点B的对应点C，且ABAC=49．（1）求C点的坐标；（2）若抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴的正半轴上，求抛物线的解析式．（3）点P在（2）中的抛物线上，且到直线AB的距离为3√2，求点P的坐标．试题及答案-解答题-云返教育

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已知 A（-4，0）B （0，4）以A点为位似中心将OB向右侧放大，得到点B的对应点C，且

．
（1）求C点的坐标；
（2）若抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴的正半轴上，求抛物线的解析式．
（3）点P在（2）中的抛物线上，且到直线AB的距离为3

√2

，求点P的坐标．

试题解答

见解析

解：（1）设点C的坐标为（x，y），
∵A（-4，0）、B（0，4），

，
∴

x+4

，
解得x=5，y=9，
∴点C（5，9）；

（2）∵B（0，4），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+4，
∵C（5，9），
∴25a+5b+4=9，
∴b=1-5a，
∴抛物线解析式为y=ax²+（1-5a）x+4，
∵△=b²-4ac=（1-5a）²-16a=0，
∴25a²-26a+1=0，
解得a₁=1，a₂=

，
∵x=-

1-5a

＞0，

解得a＜0或a＞

，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4；

（3）如图，过点O作BC的垂线交BC于点N，设点P所在的直线ME交y轴于点E，交BC的垂线于点M，
则MN=3

√2

，
∵A（-4，0）、B（0，4），
∴AO=4，OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=AO?sin45°=4×

√2

，
∴OM=ON+MN=2

√2

，
∴

√2

，
∴OE=

OB=

×4=10，
∴点E的坐标为（0，10），
∴直线ME的解析式为y=x+10
由

{	y=x+10 y=x²-4x+4

，
解得

{	x₁=-1 y₁=9

，

{	x₂=6 y₂=16

，
同理：点F为（0，-2），
由

{	y=x-2 y=x²-4x+4

，
解得

{

x₁=2

y₁=0

，

{

x₂=3

y₂=1

，
∴点P的坐标为（-1，9）或（6，16）或（2，0）或（3，1）．

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